حل فعالیت وکاردرکلاس صفحه 63 و 64 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 63 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین بر پایه‌ی عمل **ضرب دو چندجمله‌ای** و پیدا کردن **اتحادهای مکعب** است. این روابط، پایه‌ی اصلی **تجزیه‌ی مجموع و تفاضل مکعب‌ها** هستند. ### **۱. محاسبه $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$** **گام ۱: ضرب $a$ در پرانتز دوم** $$a(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2$$ **گام ۲: ضرب $b$ در پرانتز دوم** $$b(a^2 - ab + b^2) = a^2b - ab^2 + b^3$$ **گام ۳: جمع نتایج و ساده‌سازی** $$(a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$$ $$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3$$ $$a^3 + 0 + 0 + b^3 = \mathbf{a^3 + b^3}$$ **پاسخ جای خالی (۱):** $$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + \mathbf{a^2b - ab^2 + b^3} = \mathbf{a^3 + b^3}$$ --- ### **۲. محاسبه $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$** **گام ۱: ضرب $a$ در پرانتز دوم** $$a(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2$$ **گام ۲: ضرب $-b$ در پرانتز دوم** $$-b(a^2 + ab + b^2) = -a^2b - ab^2 - b^3$$ **گام ۳: جمع نتایج و ساده‌سازی** $$(a^3 + a^2b + ab^2) + (-a^2b - ab^2 - b^3)$$ $$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3$$ $$a^3 + 0 + 0 - b^3 = \mathbf{a^3 - b^3}$$ **پاسخ جای خالی (۲):** $$(a-b)(a^2 + ab + b^2) = \mathbf{a^3 - b^3}$$ **نکته نهایی:** این دو نتیجه، همان **اتحادهای مجموع و تفاضل مکعب‌ها** هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 63 ریاضی دهم - مسئله ۲ این بخش، مهم‌ترین بخش مربوط به تجزیه‌ی عبارت‌های درجه سوم است. ما در واقع با جابه‌جا کردن طرفین تساوی‌های حاصل از مسئله‌ی ۱، **اتحادهای تجزیه** را به دست می‌آوریم. ### **۱. تجزیه‌ی مجموع مکعب‌ها (اتحاد $(a^3 + b^3)$)** از رابطه‌ی (۱) در مسئله‌ی قبل می‌دانیم: $$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$$ با جابه‌جایی طرفین، عبارت $a^3 + b^3$ به صورت حاصل‌ضرب تجزیه می‌شود: **اتحاد مجموع مکعب‌ها:** $$\mathbf{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)}$$ **نکته برای حفظ کردن:** * **پرانتز کوچک (اول):** جمع ریشه‌ی سوم دو عبارت ($a+b$). * **پرانتز بزرگ (دوم):** مربع جمله اول ($a^2$)، **منهای** حاصل‌ضرب دو جمله ($ab$)، **به علاوه** مربع جمله دوم ($b^2$). (به عبارت $a^2 - ab + b^2$ **سه جمله‌ای ناقص مربع** گفته می‌شود.) --- ### **۲. تجزیه‌ی تفاضل مکعب‌ها (اتحاد $(a^3 - b^3)$)** از رابطه‌ی (۲) در مسئله‌ی قبل می‌دانیم: $$(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$$ با جابه‌جایی طرفین، عبارت $a^3 - b^3$ به صورت حاصل‌ضرب تجزیه می‌شود: **اتحاد تفاضل مکعب‌ها:** $$\mathbf{a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)}$$ **نکته برای حفظ کردن:** * **پرانتز کوچک (اول):** تفاضل ریشه‌ی سوم دو عبارت ($a-b$). * **پرانتز بزرگ (دوم):** مربع جمله اول ($a^2$)، **به علاوه** حاصل‌ضرب دو جمله ($ab$)، **به علاوه** مربع جمله دوم ($b^2$). **علامت‌های کلیدی:** علامت پرانتز کوچک، **هم‌علامت** با عملیات اصلی است. علامت جمله‌ی میانی پرانتز بزرگ، **مخالف علامت** عملیات اصلی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 63 ریاضی دهم - مسئله ۳ در این بخش از **اتحادهای مجموع و تفاضل مکعب‌ها** که در مسئله‌ی قبل به دست آوردیم، استفاده می‌کنیم. ### **یادآوری اتحادها** * $\mathbf{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)}$ * $\mathbf{a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)}$ --- ### **۱. تجزیه‌ی $\mathbf{x^3 + 1}$** $x^3 + 1 = x^3 + 1^3$. در اینجا $a=x$ و $b=1$. $$\mathbf{x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x(1) + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)}$$ --- ### **۲. تجزیه‌ی $\mathbf{x^3 - 8}$** $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$. در اینجا $a=x$ و $b=2$. $$\mathbf{x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + x(2) + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$$ --- ### **۳. تجزیه‌ی $\mathbf{x^3 - 125}$** $x^3 - 125 = x^3 - 5^3$. در اینجا $a=x$ و $b=5$. $$\mathbf{x^3 - 125 = (x - 5)(x^2 + x(5) + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)}$$ --- ### **۴. تجزیه‌ی $\mathbf{x^6 - 1}$** این عبارت را می‌توان به دو روش تجزیه کرد: **روش اول (تفاضل مکعب‌ها):** $x^6 - 1 = (x^2)^3 - 1^3$. در اینجا $a=x^2$ و $b=1$. $$(x^2)^3 - 1^3 = (x^2 - 1)((x^2)^2 + x^2(1) + 1^2)$$ $$ = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$$ (سپس عامل $(x^2-1)$ را با مزدوج تجزیه می‌کنیم.) $$ \mathbf{x^6 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^4 + x^2 + 1)} $$ **روش دوم (تفاضل مربع‌ها - روش اولویت‌دار):** $x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2$. در اینجا $a=x^3$ و $b=1$. $$(x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$$ سپس هر دو عامل را با **اتحاد مکعب‌ها** تجزیه می‌کنیم: $$\mathbf{x^6 - 1 = [(x - 1)(x^2 + x + 1)][(x + 1)(x^2 - x + 1)]}$$ (در پاسخ نهایی، روش دوم که تجزیه‌ی کامل‌تری است، به عنوان پاسخ اصلی در نظر گرفته می‌شود.) | عبارت | تجزیه‌ی کامل | | :---: | :---: | | $\mathbf{x^3 + 1}$ | $\mathbf{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$ | | $\mathbf{x^3 - 8}$ | $\mathbf{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$ | | $\mathbf{x^3 - 125}$ | $\mathbf{(x - 5)(x^2 + 5x + 25)}$ | | $\mathbf{x^6 - 1}$ | $\mathbf{(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 64 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این فعالیت یک مقدمه‌ی بسیار مهم برای درس **عبارت‌های گویا** است، چون مفهوم **مضرب** (که در اعداد، به معنی نتیجه‌ی ضرب است) و **شمارنده/عامل** (که در اعداد، به معنی مقسوم‌علیه است) را به دنیای **عبارت‌های جبری** تعمیم می‌دهد. ### **توضیح مفهوم مضرب و شمارنده (عامل)** * **مضرب (Multiple):** یک عبارت جبری است که از **ضرب** یک عبارت اصلی در یک عبارت دیگر به دست می‌آید. به زبان ساده، مضرب‌ها "بزرگ‌تر" یا پیچیده‌تر از عبارت اصلی هستند. * **شمارنده یا عامل (Factor/Divisor):** یک عبارت جبری است که اگر عبارت اصلی را بر آن تقسیم کنیم، باقی‌مانده صفر شود. به زبان ساده، عامل‌ها "کوچک‌تر" یا ساده‌تر از عبارت اصلی هستند. **مثال اصلی ($a^2 - b^2$):** * $athbf{a^2 - b^2}$ **مضرب** $athbf{a-b}$ و $athbf{a+b}$ است. * $athbf{a-b}$ و $athbf{a+b}$ **عامل** $athbf{a^2 - b^2}$ هستند. ### **تکمیل مضرب‌های خواسته شده** **سوال ۱:** مضرب‌های هر عبارت جبری از ضرب آن در عبارت‌های جبری دیگر به دست می‌آیند. #### **بعضی از مضرب‌های $\mathbf{a+b}$** هر عبارتی که از ضرب $(a+b)$ در یک عبارت دیگر به دست آید، یک مضرب است. * $$(a+b) \times (a^2) = a^3 + a^2b$$ * $$(a+b) \times (x-y) = ax - ay + bx - by$$ * $$(a+b) \times (a-b) = a^2 - b^2 \quad \text{(مزدوج)}$$ * $$(a+b) \times (a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \quad \text{(مجموع مکعب‌ها)}$$ #### **بعضی از مضرب‌های $\mathbf{a-b}$** هر عبارتی که از ضرب $(a-b)$ در یک عبارت دیگر به دست آید، یک مضرب است. * $$(a-b) \times (5) = 5a - 5b$$ * $$(a-b) \times (a) = a^2 - ab$$ * $$(a-b) \times (a+b) = a^2 - b^2 \quad \text{(مزدوج)}$$ * $$(a-b) \times (a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \quad \text{(تفاضل مکعب‌ها)}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 64 ریاضی دهم - بخش ۲ **سوال:** دو عبارت بنویسید که **$\mathbf{a-b}$ شمارنده‌ی (عامل)** هر یک از آن‌ها باشد. ### **تحلیل** اگر $a-b$ شمارنده‌ی یک عبارت باشد، به این معنی است که آن عبارت، یک **مضرب** از $a-b$ است. به عبارت دیگر، می‌توان آن عبارت را به صورت $(a-b)$ ضربدر یک عبارت دیگر (مثلاً $Q$) نوشت: $\text{عبارت} = (a-b) \times Q$. ما از اتحادهای جبری شناخته‌شده که $(a-b)$ عامل آن‌ها است، استفاده می‌کنیم: 1. **عبارت اول: تفاضل مربع‌ها** * اتحاد: $$\mathbf{a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)}$$ * چون $a^2 - b^2$ به صورت $(a-b)$ ضربدر $(a+b)$ نوشته می‌شود، پس **$\mathbf{a-b}$ شمارنده‌ی $\mathbf{a^2 - b^2}$** است. 2. **عبارت دوم: تفاضل مکعب‌ها** * اتحاد: $$\mathbf{a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)}$$ * چون $a^3 - b^3$ به صورت $(a-b)$ ضربدر عبارت بزرگ‌تر نوشته می‌شود، پس **$\mathbf{a-b}$ شمارنده‌ی $\mathbf{a^3 - b^3}$** است. **پاسخ نهایی:** 1. **$$\mathbf{a^2 - b^2}$$** 2. **$$\mathbf{a^3 - b^3}$$** (همچنین می‌توان از مضرب‌های ساده‌تر مثل $\mathbf{5(a-b)}$ یا مضرب‌های پیچیده‌تر مثل $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ نیز استفاده کرد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 64 ریاضی دهم - مسئله ۳ **سوال:** عبارت $1 - 27a^3$ مضرب کدام یک از عبارت‌های داده شده است؟ (مضرب بودن یعنی آن عبارت، یکی از عامل‌های تجزیه است.) ### **گام ۱: تجزیه‌ی عبارت $\mathbf{1 - 27a^3}$** عبارت $1 - 27a^3$ یک **تفاضل مکعب‌ها** است که می‌توان آن را به صورت زیر نوشت: $$1 - 27a^3 = 1^3 - (3a)^3$$ **گام ۲: اعمال اتحاد تفاضل مکعب‌ها** اتحاد تفاضل مکعب‌ها: $\mathbf{x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)}$ * $x = 1$ * $y = 3a$ $$1^3 - (3a)^3 = (1 - 3a)(1^2 + 1(3a) + (3a)^2)$$ $$\mathbf{1 - 27a^3 = (1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)}$$ ### **گام ۳: مقایسه با گزینه‌ها** چون $1 - 27a^3$ به صورت حاصل‌ضرب $(1 - 3a)$ در $(1 + 3a + 9a^2)$ تجزیه شده است، پس هر یک از این دو پرانتز، یک **شمارنده (عامل)** هستند و عبارت $1 - 27a^3$ **مضرب** هر دوی آن‌ها است. * گزینه‌ی **پ** ($9a^2 + 3a + 1$): این عبارت همان پرانتز بزرگ تجزیه است، پس $1 - 27a^3$ مضرب آن است. * گزینه‌ی **ب** ($3a - 1$): این عبارت **قرینه‌ی** پرانتز کوچک ($1 - 3a$) است. از آنجایی که $1 - 3a = -(3a - 1)$، پس $3a - 1$ نیز یک عامل از عبارت اصلی است (با ضریب $-1$). $$\mathbf{1 - 27a^3 = -(3a - 1)(1 + 3a + 9a^2)}$$ **نتیجه‌گیری:** عبارت $1 - 27a^3$ مضرب هر دو گزینه‌ی **ب** و **پ** است. **پاسخ صحیح** (انتخاب گزینه‌هایی که دقیقاً عامل هستند): * **پ)** $\mathbf{9a^2 + 3a + 1}$ (با فرض این که سوال صرفاً یک گزینه را می‌خواهد، هر دو عامل تجزیه‌ی نهایی صحیح هستند. اما پرانتز بزرگ اغلب به عنوان یک عامل مهم در نظر گرفته می‌شود.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 64 ریاضی دهم - مسئله ۴ **سوال:** کدام یک از عبارت‌های زیر **گویا** هستند؟ ### **تحلیل مفهوم عبارت گویا** یک **عبارت گویا** (Rational Expression) عبارت کسری‌ای است که **صورت و مخرج** آن، هر دو **چندجمله‌ای** (Polynomial) باشند. * **چندجمله‌ای:** عبارتی که در آن توان‌های متغیر (مانند $x$) همواره **اعداد صحیح نامنفی** (۰، ۱، ۲، ۳، ...) هستند. وجود **رادیکال** روی متغیر ($$\sqrt{x}$$ یا $\sqrt[3]{x^2}$) یا **توان منفی** یا **توان کسری** روی متغیر، نشان می‌دهد که عبارت، چندجمله‌ای نیست. ### **بررسی گزینه‌ها** 1. **الف) $\mathbf{\frac{3x - \sqrt{x}}{x^2}}$** * **صورت:** $3x - \sqrt{x}$. وجود $\mathbf{\sqrt{x}}$ (یا $x^{\frac{1}{2}}$) باعث می‌شود که صورت، چندجمله‌ای نباشد. * **نتیجه:** **گویا نیست.** 2. **ب) $\mathbf{\frac{x^3 - 1}{x^3 + 1}}$** * **صورت:** $x^3 - 1$ (چندجمله‌ای) * **مخرج:** $x^3 + 1$ (چندجمله‌ای) * **نتیجه:** **گویا است.** 3. **پ) $\mathbf{\sqrt{x - 1}}$** * **تحلیل:** این عبارت یک رادیکال است، نه کسر دو چندجمله‌ای. * **نتیجه:** **گویا نیست.** 4. **ت) $\mathbf{\frac{2\sqrt{x^3} + x - 1}{2}}$** * **صورت:** $2\sqrt{x^3} + x - 1$. وجود $\mathbf{\sqrt{x^3}}$ (یا $x^{\frac{3}{2}}$) باعث می‌شود که صورت، چندجمله‌ای نباشد. * **نتیجه:** **گویا نیست.** **پاسخ نهایی:** تنها عبارت **(ب)** گویا است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 64 ریاضی دهم - مسئله ۵ **سوال:** عبارت گویای زیر به ازای چه مقدارهایی از $x$ **تعریف نمی‌شود**؟ ### **تحلیل شرط تعریف عبارت گویا** یک عبارت گویای کسری (یا جمع و تفریق کسرهای گویا) زمانی **تعریف نمی‌شود** که **مخرج یک یا چند کسر، برابر صفر** شود. ما باید ریشه‌های هر مخرج را پیدا کنیم. **گام ۱: بررسی مخرج کسر اول:** $$x - 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$$ **گام ۲: بررسی مخرج کسر دوم:** $$x + 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = -1}$$ **گام ۳: بررسی مخرج کسر سوم:** $$x^2 + 4 = 0$$ $$x^2 = -4$$ * **تحلیل:** چون مربع هر عدد حقیقی، یک عدد نامنفی ($\ge 0$) است، هرگز نمی‌تواند برابر یک عدد منفی ($-4$) شود. * **نتیجه:** مخرج $x^2 + 4$ هرگز برای $x$های حقیقی برابر صفر نمی‌شود. **پاسخ نهایی:** عبارت گویای داده شده به ازای مقدارهای $\mathbf{x = 1}$ و $\mathbf{x = -1}$ تعریف نمی‌شود. (به عبارت دیگر، دامنه‌ی تعریف این عبارت برابر است با $\mathbf{\mathbb{R} - \{1, -1\}}$).

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 64 ریاضی دهم - مسئله ۶ برای جمع و تفریق کسرهای جبری، باید ابتدا **مخرج مشترک** را پیدا کنیم و این کار با **تجزیه کردن مخرج‌ها** شروع می‌شود. ### **الف) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} + \frac{3}{x - 1}}$** **گام ۱: تجزیه مخرج‌ها** مخرج کسر سوم ($x - 1$) را با استفاده از **اتحاد مزدوج** تجزیه می‌کنیم. $\mathbf{x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$. **گام ۲: پیدا کردن مخرج مشترک** مخرج مشترک کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها است: $L.C.M. = \mathbf{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$. **گام ۳: هم‌مخرج کردن و جمع صورت‌ها** $$\text{حاصل} = \frac{1(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{3}{x - 1}$$ $$\text{حاصل} = \frac{(\sqrt{x} + 1) + (2\sqrt{x} - 2) + 3}{x - 1}$$ **گام ۴: ساده‌سازی صورت** $$\text{صورت} = (\sqrt{x} + 2\sqrt{x}) + (1 - 2 + 3) = 3\sqrt{x} + 2$$ **پاسخ نهایی:** $$\mathbf{\frac{3\sqrt{x} + 2}{x - 1}}$$ --- ### **ب) $\mathbf{\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x^2 - 1}}$** **گام ۱: تجزیه مخرج‌ها** مخرج کسر سوم را با **اتحاد مزدوج** تجزیه می‌کنیم: $\mathbf{x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)}$. **گام ۲: پیدا کردن مخرج مشترک** مخرج مشترک: $L.C.M. = \mathbf{(x - 1)(x + 1)} = \mathbf{x^2 - 1}$. **گام ۳: هم‌مخرج کردن و جمع/تفریق صورت‌ها** $$\text{حاصل} = \frac{1(x + 1)}{x^2 - 1} + \frac{1(x - 1)}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 - 1}$$ $$\text{حاصل} = \frac{(x + 1) + (x - 1) - 1}{x^2 - 1}$$ **گام ۴: ساده‌سازی صورت** $$\text{صورت} = x + 1 + x - 1 - 1 = (x + x) + (1 - 1 - 1) = 2x - 1$$ **پاسخ نهایی:** $$\mathbf{\frac{2x - 1}{x^2 - 1}}$$